Печать
Категория: Презентации
Просмотров: 39491

Математика в природе.

Доклад на городской конкурс среди обучающихся образовательных учреждений «СТАРТ В НАУКУ - 2014».

Секция «Математика».

Доклад включает в себя сообщение и презентацию.

Введение

Нам в школе часто повторяют, что математика – царица наук. Однажды я услышал другую фразу, которую когда-то произнес один из школьных учителей и любит повторять мой папа: «Природа не настолько глупа, чтобы не использовать законы математики». (Котельников Ф.М. бывший профессор математики кафедры МГУ). Именно это дало мне мысль изучить этот вопрос.

Эту мысль подтверждает следующее изречение: «Красота всегда относительна… Не следует… полагать, что берега океана и впрямь бесформенны только потому, что их форма отлична от правильной формы построенных нами причалов; форму гор нельзя считать неправильной на основании того, что они не являются правильными конусами или пирамидами; из того, что расстояния между звездами неодинаковы, еще не следует, что их разбросала по небу неумелая рука. Эти неправильности существуют только в нашем воображении, на самом же деле они таковыми не являются и никак не мешают истинным проявлениям жизни на Земле, нив царстве растений и животных, ни среди людей». (Ричард Бентли, английский ученый 17-го века)

Но изучая математику, мы опираемся только на знание формул, теоремы, расчеты. И математика предстает перед нами как некая абстрактная наука, оперирующая цифрами. Однако, как оказывается, математика – красивая наука.

Именно поэтом я поставил перед собой следующую цель: показать красоту математики при помощи закономерностей, существующих в природе.

Чтобы достичь своей цели, она была разделена на ряд задач:

- изучить разнообразие математических закономерностей, используемых природой.

- дать описание этих закономерностей.

- на собственном опыте попытаться найти математические соотношения в строении тела кошки (Как сказано в одном известном фильме: тренироваться на кошках).

Методы, используемые в работе: анализ литературы по теме, научный эксперимент.

  1. 1.Поиск математических закономерностей в природе.

Математические закономерности можно искать как в живой, так и в неживой природе.

Кроме этого, необходимо определить, какие закономерности надо искать.

Так как в шестом классе изучено не так много закономерностей, мне пришлось изучить учебники старших классов. Кроме этого, мне надо было учесть, что очень часто природа использует геометрические закономерности. Поэтому помимо учебников алгебры, мне пришлось обратить свое внимание и на учебники геометрии.

Математические закономерности, найденные в природе:

  1. Золотое сечение. Числа Фибоначчи (спираль Архимеда). А также другие виды спиралей.
  2. Различные виды симметрии: центральная, осевая, поворотная. А также симметрия в живой и неживой природе.
  3. Углы и геометрические фигуры.
  4. Фракталы. Термин фрактал образовал от латинскогоfractus (ломать, разламывать), т.е. создавать фрагменты неправильной формы.
  5. Арифметическая и геометрия прогрессии.

Рассмотрим более подробно выделенные закономерности но в несколько другой последовательности.

Первое, что бросается в глаза, это наличие симметрии в природе.В переводе с греческого это слово обозначает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Математически строгое представление о симметрии сформировано относительно недавно – в 19 веке. В наиболее простой трактовке (по Г.Вейлю) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.[1].

В природе наиболее распространены два вида симметрии – «зеркальная» и «лучевая» («радиальная») симметрии. Однако помимо одного названия у этих видов симметрии есть и другие. Так зеркальная симметрия еще называется: осевая, билатеральная, симметрия листка. Лучевая симметрия еще носит название радиальной.

Осевая симметрия встречается в нашем мире больше всего. Дома, различные аппараты, автомобили (внешне), люди(!) всё симметрично, ну или почти. Люди симметричны тем, что у всех здоровых людей две руки, на каждой руке пять пальцев, если ладони сложить, то будет как бы зеркальное отражение.

Проверить симметричность очень просто. Достаточно взять зеркало, и приложить его примерно посередине объекта. Если та часть объекта, что находится на матовой, неотражающей стороне зеркала, соответствует отражению, то предмет симметричен.

Радиальная симметрия.Все, что растет или движется по вертикали, т.е. вверх или вниз относительно земной поверхности, подчиняется радиально-лучевой симметрии.

Листья и цветы многих растений имеют радиальную симметрию. (рис. 1, приложения)

На поперечных сечениях тканей, образующих корень или стебель растения, отчетливо бывает видна радиальная симметрия (плоды киви, срез дерева). Радиальная симметрия характерна для малоподвижных и прикрепленных форм (кораллы, гидра, медузы, актинии). (рис. 2, приложения)

Поворотная симметрия. Поворот на определенное число градусов, сопровождаемый трансляцией на расстояние вдоль оси поворота, порождает винтовую симметрию – симметрию винтовой лестницы. Пример винтовой симметрии – расположение листьев на стебле многих растений. Головка подсолнечника имеет отростки, расположенные по геометрическим спиралям, раскручивающимся от центра наружу. (рис. 3, приложения)

Симметрия встречается не только в живой природе. В неживой природе тоже находятся примеры симметрии. Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира. Симметрия внешней формы кристалла является следствием его внутренней симметрии - упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов (молекул).

Очень красива симметрия снежинок.

Но надо сказать, что природа не терпит точной симметрии. Всегда есть хотя бы незначительные отклонения. Так, наши руки, ноги, глаза и уши не полностью идентичны друг другу, пусть и очень похожи.

Золотое сечение.

Золотое сечение в 6-ом классе сейчас не проходят. Но известно, что золотое сечение, или золотая пропорция – это соотношение меньшей части к большей, дающее одинаковый результат при делении всего отрезка на большую часть и деление большей части на меньшую. Формула:     A/B=B/C

В основном соотношение 1/1,618. Золотая пропорция очень часто встречается в животном мире.

Человек, можно сказать, полностью «состоит» из золотой пропорции. К примеру расстояние между глазами(1,618) и между бровями(1) является золотым сечением. А расстояние от пупка до ступни и рост тоже будет золотой пропорцией. Все наше тело «усыпано» золотыми пропорциями. (рис. 5, приложения)

Углы и геометрические фигурыв природе тоже встречаются часто. Есть заметные углы, например они четко видны в семенах подсолнечника, в сотах, на крыльях насекомых, в листьях клена и т.д. Молекула воды имеет угол 104,70С. Но есть и малозаметные углы. Например, В соцветии подсолнечника семена расположены под углом 137,5 градусов относительно центра.

Геометрические фигуры в живой и неживой природе также видели все, только мало обращали на них внимания. Как известно, радуга – это часть эллипса, центр которого находится ниже уровня земли. Форму эллипса имеют листочки растений, плоды слив. Хотя наверняка их можно рассчитать по какой-то более сложной формуле. Например, вот такой (рис. 6, приложения):

Ель, некоторые виды ракушек, различные шишки имеют форму конуса. Некоторые соцветия похожи то ли на пирамиду, то ли на октаэдр, то ли на тот же самый конус.

Самым известным природным шестиугольником являются соты (пчелиные, осиные, шмелиные и т.д.). В отличие от многих других форм, они имеют практически идеальную форму и отличаются только размерами ячеек. Но если обратить внимание, то заметно, что фасетчатые глаза насекомых тоже близки к этой форме.

Еловые шишки очень походи на небольшие цилиндры.

В неживой природе почти невозможно найти идеальные геометрические формы, но многие горы похожи на пирамиды с разным основанием, а песчаная коса напоминает эллипс.

И таких примеров множество.

Я уже рассмотрел золотое сечение. Теперь хочу обратить свое внимание на числа Фибоначчи и другие спирали, которые тесно связаны с золотой пропорцией.

Спирали очень распространены в природе. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда (рис. 2). Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. (рис.7 приложения)

"Золотые" спирали широко распространены в биологическом мире. Как отмечалось выше, рога животных растут лишь с одного конца. Этот рост осуществляется по логарифмической спирали. В книге "Кривые линии в жизни" Т. Кук исследует различные виды спиралей, проявляющихся в рогах баранов, коз, антилоп и других рогатых животных.

Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке – филлотаксис, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали.

И, наконец, носители информации – молекулы ДНК – также скручены в спираль. Гете называл спираль «кривой жизни».

Чешуйки сосновой шишки на ее поверхности расположены строго закономерно - по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом.[2]

Однако вернемся к одной выбранной спирали – числам Фибоначчи. Это очень интересные числа. Число получается при сложении двух предыдущих. Вот начальные числа Фибоначчи по 144: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… И обратимся к наглядным примерам (слайд 14).

Фракталы были открыты не так давно. Понятие фрактальной геометрии появилось в 70-х годах 20 века. Сейчас фракталы активно вошли в нашу жизнь, и даже развивается такое направление как фрактальная графика. (рис.8, приложения)

В природе фракталы встречаются довольно часто. Однако это явление больше характерно для растений и неживой природы. Например, листья папоротника, зонтичные соцветия. В неживой природе – это разряды молний, узоры на окнах, налипание снега на ветки деревьев, элементы береговой линии и многое другое.

Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия в самом элементарном ее определении – это умножение предыдущего числа на коэффициент.

Эта прогрессия присутствует у одноклеточных организмов. К примеру любая клетка делится на две, эти две делятся на четыре и т.д. То есть это геометрическая прогрессия с коэффициентом 2. А простым языком – количество клеток с каждым делением возрастает в 2 раза.

У бактерий всё точно также. Деление, увеличение популяции вдвое.

Таким образом, я изучил математические закономерности, существующие в природе, и привел соответствующие примеры.

Необходимо отметить, что на данный момент математические законы в природе активно изучаются и даже существует наука, которая называется биосимметрикой. Она описывает намного более сложные закономерности, чем были рассмотрены в работе.

Проведение научного эксперимента.

Обоснование выбора:

В качестве подопытного животного кошка была выбрана по нескольким причинам:

- у меня есть кошка дома;

- у меня их дома четыре штуки, поэтому полученные данные должны быть более точные, чем при изучении одного животного.

Последовательность эксперимента:

- измерение тела кошки.

- запись полученных результатов;

- поиск математических закономерностей.

Выводы по полученным результатам.

Список того, что надо изучить на кошке:

  • Симметрия;
  • Золотая пропорция;
  • Спирали;
  • Углы;
  • Фракталы;
  • Геометрическая прогрессия.

Изучение симметрии на примере кошки показало, что кошка симметрична. Вид симметрии – осевая, т.е. она симметрична относительно оси. Как было изучено в теоретическом материале, для кошка, как для подвижного животного нехарактерна радиальная, центральная, а также поворотная симметрия.

Для изучения золотой пропорции я сделал замеры тела кошки, сфотографировал ее. Соотношение размера тела с хвостом и без хвоста, тела без хвоста к голове действительно подходят близко в значению золотой пропорции.

65/39=1,67

39/24=1,625

В данном случаенадо учитывать ошибку измерений, относительность длины шерсти. Но в любом случае полученные результаты близки к значению 1,618. (рис. 9, приложение).

Кошка упорно не хотела давать ее измерить, поэтому я постарался ее сфотографировать, составил шкалу золотой пропорции и наложил на фотографии кошек. Некоторые результаты получились очень интересными.

Например:

  • высота сидячей кошки от пола до головы, и от головы до «подмышки»;
  • «кистевой» и «локтевой суставы»;
  • высота сидячей кошки к высоте головы;
  • ширина морды к ширине переносицы;
  • высота морды к высоте до глаз;
  • ширина носа к ширине ноздри;

Спираль у кошки я нашел только одну – это когти. Похожую спираль называют эвольвентой.

В организме кошки можно найти различные геометрические фигуры, но я искал углы. Угловатыми у кошки оказались только уши и когти. Но когти, как я определил раньше – это спирали. Форма ушей больше напоминает пирамиду.

Поиск фракталов на теле кошки не дал результатов, так как у нее нет ничего похожего и делящегося на такие же мелкие детали. Все-таки фракталы больше характерны для растений, чем для животных, тем более млекопитающих.

Но, поразмышляв над данным вопросом, я пришел в выводу, что фракталы в теле кошки есть, но во внутреннем строении. Так как биологию млекопитающих я еще не изучал, я обратился к Интернету и нашел такие рисунки (рис.10, приложения):

Благодаря им я убедился, что кровеносная и дыхательная система кошки ветвятся по закону фракталов.

Геометрическая прогрессия характерна для процесса размножения, но никак не для тела. Арифметическая прогрессия для кошек не характерна, так как кошка рожает определенное количество котят. Геометрическую прогрессию в размножении кошек, наверное, можно найти, но скорее всего там будут какие-то сложные коэффициенты. Объясню свои размышления.

Кошка начинает рожать котят в возрасте от 9 месяцев до 2 лет (все зависит от самой кошки). Период вынашивания – 64 дня. Кошка выкармливает котят около 3 месяцев, поэтому в среднем у нее будет 4 помета в год. Количество котят от 3 до 7. Как вы видите определенные закономерности можно уловить, но это не является геометрической прогрессией. Слишком размытые параметры.

Я получил такие результаты:

В теле кошки присутствуют: осевая симметрия, золотая пропорция, спирали (когти), геометрические формы (пирамидальные уши).

Во внешнем виде отсутствуют фракталы и геометрическая прогрессия.

Внутренне строение кошки относится больше к сфере биологии, но надо отметить, что строение легких и кровеносной системы (как и других животных) подчиняется логике фракталов.

Заключение

В своей работе я исследовал литературу по теме и изучил основные теоретические вопросы. На конкретном примере доказал, что в природе очень многое, если не все подчиняется математическим законам.

Изучив материал, я понял, чтобы понять природу надо знать не только математику, надо изучать алгебру, геометрию и их разделы: стереометрию, тригонометрию и т.д.

На примере домашней кошки я исследовал исполнение математических законов. В результате я получил, что в теле кошки присутствует осевая симметрия, золотая пропорция, спирали, геометрические формы, фракталы (во внутреннем строении). Но при этом не сумел найти геометрическую прогрессию, хотя явно прослеживались некие закономерности в размножении кошек.

И теперь я согласен с фразой:«Природа не настолько глупа, чтобы не подчинить всё законам математики».


Список литературы:

  1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. – М.: Школа – Пресс, 1998.
  2. Зенкевич И.Г. Эстетика урока математики. – М.: Просвещение, 1981.
  3. Геометрия: Красота и гармония. Авт.-сост. Л.С. Сагателова, В.Н. Студенецкая. – Волгоград: Учитель, 2007.
  4. Геометрия: Доп. Главы к шк. Учеб. 8 кл. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев. М.: Просвещение, 1996.
  5. Семёнов С.Е. Изучаем геометрию: Кн. Для учащихся 6 – 8 классов сред.шк. – М.: Просвещение, 1987.
  6. Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1982.
  7. Н. Д. Угринович Информатика. Базовый курс: Учебник для 8 класса / Н.Д. Угринович – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. - 205 с.: ил
  8. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. 5 – 6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа,1999.
  9. Рональд Хольт. СПИРАЛЬ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ И МЕР-КА-БА . 21 апреля 1999 года.
  10. Кеплер И. О шестиугольных снежинках. М.; Наука, 1983.
  11. Каретин Ю. А. Синергетика: курс лекций для биологов. – ДВГУ, 2007.
  12. Научно-популярный фильм «Первая жизнь с Дэвидом Аттенборо», 2010.
  13. Л. И. Лотова. Ботаника. Морфология и анатомия высших растений. - М.: Эдиториал УРСС, 2001.
  14. Заренков Н.А. Биосимметрика. – М.: Книжный дом «Либроком», 2009.
  15. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. – М.: «Радио и связь», 1984. – 152 с., ил.

Интернет-ресурсы:

  1. http://www.km.ru/referats/A21498B7F33A4CEF9E597D0A0E890A5B
  2. http://itions.ucoz.ru/news/style_kanal_princip_zolotogo_sechenija_v_odezhde/2013-06-24-21
  3. http://sakva.net/old/fractals_rus/. Данные соответствуют 14.04.12.

Приложения

осевая симметрия

Рисунок 1. Осевая симметрия

Радиальная симметрия

Рисунок 2. Радиальная симметрия.

Поворотная симметрия

Рисунок 3. Поворотная симметрия.

Пример симметрии снежинок

Рисунок 4. Пример симметрии снежинок.

Золотое сечение в теле человека

Рисунок 5. Золотое сечение в теле человека

Геометрические фигуры

Рисунок 6. Геометрические фигуры, описываемые сложными функциями.

Спирально завитая раковина 

Рисунок 7. Спирально завитая раковина

Пример фракталов в природе

Рисунок 8. Пример фракталов в природе

Подтверждение наличия золотого сечения на морде кошки

Подтверждение наличия золотого сечения на морде кошки

Подтверждение наличия золотого сечения на теле кошки

Рисунок 9. Подтверждение наличия золотого сечения на теле кошки


[1]Л.В.Тарасов. Этот удивительно симметричный мир. – 1982 г.

[2] Принципы формообразования в природе.

Скачать презентацию:

Данный текст доступен только для авторизованных пользователей сайта